아이디어부터 잡아 보자. 먼저 $x$를 nondeteministic, stationary $n$-dimensional process라고 하고 다음을 만족한다고 하자
$$ dx = Axdt + Bdw $$
이 때 $A$, $B$는 constant matrices이고 $\text{Re}[\lambda_i(A)]<0$ for all $i$라고 하고 $w$는 standard Brownian motion (=Wiener process)라고 하며 $x(t)$가 미래의 $w$의 increment에 대해서는 independent이며 과거의 $w$에 대해서는 dependent라고 하자. 즉, $t_2>t_1\geq t$라고 하면 $w(t_2)-w(t_1)$은 $x(t)$와 independent이지만 $t_3<t_4\leq t$에 대해서는 $w(t_3)-w(t_4)$가 dependent일수도 있다고 하자.
이러한 모델을 우리는 forward time model이라고 부르기로 하자. 이 방적식의 해는
$$ x(t)=\int_{-\infty}^te^{A(t-s)}Bdw(s) $$
로 표현될 수 있다.
이와 대조적으로, reverse time model은
$$ dx = \bar{A}xdt + \bar{B}d\bar{w} $$
의 꼴로 $\text{Re}[\lambda_i(\bar{A})]>0$ for all $i$이고 $\bar{w}$는 과거의 $x(t)$와는 independent이고 미래의 것들과는 그렇지 않은 Wiener process라고 하자. 이는 물리적으로 시간을 역행해서 가는 process로 이해할 수 있으며 해는
$$ x(t) = -\int_t^{\infty}e^{\bar{A}(t-s)}\bar{B}d\bar{w}(s) $$
가 될 것이다.
이 문제는 $x(t)$의 forward time representation으로부터 reverse-time representation을 유도하는 과정으로 이해될 수 있다. 이 문제를 풀기 위해서
$$ P=\mathbb{E}[x(t)x^T(t)] $$
로 두자. 이 $P$는 matrix equation $PA^T+AP=BB^T$ (논문에는 $-BB^T$로 나와있지만 오타인것 같음.) 의 해로 생각될 수 있으며 rank가 $\begin{bmatrix}B&AB&\cdots&A^{n-1}B\end{bmatrix}=n$일 때 가역이다.
이제 vector process $\bar{w}$를
$$ d\bar{w}:=dw-B^TP^{-1}xdt $$
로 정의하면