먼저 probability space를 생각하자. $\Omega$가 주어진 집합이라고 하고, $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$를 다음 조건을 만족시키는 $\Omega$의 부분집합의 보임(collection of subsets of $\Omega$)라고 하자:
이 쌍 $(\Omega,\mathcal{F})$를 measurable space라고 부른다. Measurable space에서 파생되는 probability space $(\Omega,\mathcal{F},P)$는 $P:\mathcal{F}\to[0,1]$로 다음 조건을 만족한다:
$P(\empty)=0$, $P(\Omega)=1$.
Disjoint인 $A_1,A_2,\cdots$들이 $\mathcal{F}$의 원소였다면,
$$ P\bigg(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\bigg)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i) $$
$\mathcal{F}$의 원소들을 ($\mathcal{F}$-)measurable set이라고도 부른다. $P(F)=1$이면 $F$ occurs with probability 1 혹은 $F$ occurs almost surely라고도 부른다.
$\Omega$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{U}$를 포함하는 최소의 $\sigma$-algebra, 즉
$$ \mathcal{H}_{\mathcal{U}}:=\bigcap\{\mathcal{H}|\mathcal{H}\text{ is a }\sigma\text{-algebra of }\mathcal{\Omega}, \mathcal{U}\subset\mathcal{H}\} $$
를 $\sigma$-algebra generated by $\mathcal{U}$라고 부른다.
만약 $\mathcal{U}$가 $\Omega$ 위의 topology였다면 $\mathcal{H}_{\mathcal{U}}$를 Borel $\sigma$-algebra on $\Omega$라고 부르고 $\mathcal{B}$로 적는다. 또한 $\mathcal{B}$의 원소를 Borel set이라고 부른다.
만약 $(\Omega,\mathcal{F},P)$가 주어진 probability space라면 $Y:\Omega\to\mathbb{R}^n$으로 가는 함수가 $\mathcal{F}$-measurable이라는 것은
$$ Y^{-1}(U):=\{\omega\in\Omega:Y(\omega)\in U\}\in\mathcal{F} $$
for all open set $U\in\mathbb{R}^n$이라는 것이다.
Measurable space $\Omega$에서 어떤 함수 $s:\Omega\to\mathbb{R}$이 simple function이라는 것은 치역이 유한개의 원소로 이루어진 것을 말한다.
즉, indicator function